Bahan Kuliah Fisika Statistik ( STATISTIK MAXWEL-BOLTZMANN SERTA APLIKASINYA)

STATISTIK MAXWEL-BOLTZMANN

 

    A.   Teori Statistik Maxell-Boltzmann

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2. Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi partikel dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua partikel dianggap tak terbedakan.

 Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah secara individu disebut status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem.

    B.   Distribusi Maxwel-Boltzmann

           Distribusi Maxwell-Boltzmann menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel tidak terus-menerus berinteraksi satu sama lain, tetapi bergerak bebas antara tabrakan pendek. Ini menggambarkan kemungkinan kecepatan partikel (besarnya vektor kecepatannya) yang dekat dengan nilai yang diberikan sebagai fungsi dari suhu dari sistem, massa partikel, dan bahwa nilai kecepatan. Distribusi probabilitas ini dikemukakan pertama kali oleh James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.

          Distribusi Maxwell-Boltzmann biasanya dianggap sebagai distribusi kecepatan molekul, tetapi juga dapat merujuk kepada distribusi untuk kecepatan, momentum, dan besarnya momentum molekul, yang masing-masing akan memiliki fungsi probabilitas distribusi yang berbeda, semua dari yang terkait. Kecuali dinyatakan lain, artikel ini akan menggunakan "distribusi Maxwell-Boltzmann" untuk merujuk pada distribusi kecepatan. Distribusi ini dapat dianggap sebagai besaran vektor 3-dimensi yang komponennya adalah independen dan terdistribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi a. Jika Xi didistribusikan sebagai , maka didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter a. Selain parameter skala, distribusi identik dengan distribusi chi dengan 3 derajat kebebasan.

         Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann dari mekanika statistik)

dimana:

• i adalah microstate (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum - lihat fungsi partisi).
• E_i adalah tingkat energi dari microstate i.
• T adalah temperatur kesetimbangan sistem.
• g_i adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami degenerasi yang memiliki tingkat energi yang sama
• k adalah konstanta Boltzmann.
• N_i adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T, dalam keadaan i yang memiliki energi E _i dan degenerasi g_i.
• N adalah jumlah total molekul dalam sistem.

Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi g_i. Dalam hal ini i akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan g_i yang memiliki energi E_i yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.

    C.   Ruang Fase

Ruang fasa adalah ruang yang dibentuk oleh ruang spasial dan ruang momentum atau ruang spasial dan ruang kecepatan. Kita perlu memahami ruang fasa karena sebenarnya keadaan system statistik yang telah dan akan kita bahas adalah keadaan system tersebut dalam ruang fasa. Misalkan kita memiliki sebuah partikel. Posisi partikel dapat diterangkan dengan lengkap oleh tiga koordinat ruang, yaitu x, y, dan z . Tetapi posisi saja tidak lengkap mendeskripsikan dinamika partikel. Kita juga memerlukan informasi tentang kecepatan partikel tersebut. Kecepatan partikel dapat didefinisikan dengan lengkap oleh tiga koordinat kecepatan, yaitu v_x, v_y, dan v_z . Dengan demikian, dinamika sebuah partikel dapat dijelaskan secara lengkap oleh enam buah koordinat, yaitu tiga koordinat ruang: x, y, dan z, serta tiga koordinat kecepatan: v_x, v_y , dan v_z . Kita dapat menggabungkan nenam koordinat tersebut dalam satu ungkapan, yaitu : (x,y,z, v_x, v_y , v_z ).

 Karena momentum merupakan perkalian massa dan kecepatan, yaitu P = mv maka alternatif lain untuk mendeskripsikan dinamikan partikel secara lengkap adalah memberikan tiga koordinat spasial dan tiga koordinat momentum. Dalam deskripsi ini, dinamika partikel dapat dijelaskan dengan lengkap jika tiga koordinat spasial dan tiga koordinat momentum dapat ditentukan. Keenam koordinat tersebut digabung dalam satu ungkapan (x,y,z, P_x, P_y , P_z)

Gambar :Ilustasi koodinat ruang fase

           Ruang yang diungkapkan oleh koordinat momentum saja disebut ruang momentum. Ruang yang direpresentasikan oleh gabungan koordinat ruang dan dan momentum disebut ruang fasa.

    D.   Bobot Statistik

Andaikan N  buah molekul terbagi ke dalam n bilik dimana masing-masing bilik berisi N₁, N_2……. N_n, molekul, maka jumlah keadaan mikroskopik dapat dihitung sebagai berikut :

  

 Dimana Ω biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan yang ordernya hingga 10²³ akan sangat besar sehingga perlu teknik khusus untuk menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu :

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai :

APLIKASI STATISTIK MAXWEL-BOLTZMANN  

 

  A.   Pelebaran Spektrum Akibat Efek Doppler

Setelah menurunkan beberapa jenis fungsi distribusi untuk system klasik maupun kuantum sekarang kita akan melihat beberapa aplikasi fungsi distribusi tersebut. Pada bab ini kita akan melihat beberapa aplikasi fungsi dirtsibusi Maxwell-Boltzmann. Pembahasan tersebut diharapkan akan memberikan petunjuk yang berarti kepada para mahasiswa dalam menerapkan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dalam beberapa bidang fisika.

Efek Doppler dijumpai pada gelombang bunyi maupun gelombang elektromagnetik. Salah satu pesan dari efek ini adalah jika sumber gelombang mendekati pengamat maka panjang gelombang yang dikur oleh pengamat lebih kecil daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Sebaliknya, jika sumber gelombang menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih besar daripada apabila sumber diam terhadap pengamat. Peristiwa ini dapat dilustrasikan pada Gambar 1.a.

Gambar 1.a Jika sumber mendekati pengamat maka panjang gelombang yang diukur pengamat lebih pendek daripada yang dikeluarkan sumber. Sebaliknya, jika sumber menjauhi pengamat maka panjang gelombang yang dikur pengamat lebih panjang daripada yang dikeluarkan sumber

Khusus untuk gelombang gelombang elektromagnetik, panjang gelombang yang dikur oleh pengamat yang diam yang dihasilkan oleh sumber sumber bergerak dengan kecepatan v_x terhadap pengamat adalah :

dengan λ panjang gelombang yang dikur pengamat, λ_o adalah panjang gelombang yang dikur jika sumber gelombang diam terhadap pengamat, dan c adalah kecepatan cahaya. Kita definisikan tanda kecepatan yaitu v_x > 0  jika sumber mendekati pengamat dan v_x < 0  jika sumber menjauhi pengamat. Dalam astronomi, efek Dopler digunakan untuk mengukur kecepatan bitnag-bintang. Berdasarkan pergeseran panjang gelombang yang dipancarkan bintang-bintang tersebut maka kecepatan relatif bintang terhadap bumi dapat diprediksi menggunakan persamaan (2.a)

Gambar 2.a Atom memancarkan gelombang elektromagnetik ketika terjadi transisi electron antara tingkat energi 

Mari kita perhatikan sebuah ataom yang memiliki dua tingkat energy (gambar2.a). Atom tersebut memancarkan spektrum gelombang elektromagnetik dengan panjang gelombang tertentu, sebut saja λ_o , akibat transisi elektron antar tingkat energi atom tersebut. Jika atom dalam keadaan diam maka panjang gelombang yang kita ukur adalah λ_o, persis sama dengan panjang gelombang yang dipancarkan atom. Tetapi jika atom mendekati pengamat dengan laju v_x maka panjang gelombang yang dikur pengamat adalah λ = λ_o(1 - v_x/c ). Dan sebaliknya, jika atom menjauhi pengamat dengan laju v_x maka panjang gelombang yang dikur pengamat adalah λ = λ_o(1 + v_x/c ). Sebagai ilustrasi, lihat Gbr. 3.a.  Jika ada sejumlah atom yang diam maka gelombang yang diukur pengamat merupakan jumlah gelombang yang dipancarkan oleh semua atom. Panjang gelombang yang diterima dari semua atom sama, yaitu λ_o . Yang dideteksi oleh pengamat hanyalah gelombang dengan panjang λ_o tetapi memiliki intensitas tinggi. Akan tetapi jika atom yang memancarkan gelombang bergerak secara acak maka komponen kecepatan ke arah pengamat, yaitu v_x juga acak. Akibatnya panjang gelombang yang diukur pengamat yang berasal dari satu atom berbeda dengan yang diukur dari atom lainnya. Pengamat akan mengukur gelombang yang memiliki panjang yang bervariasi dalam jangkauan tertentu. Ini berakibat pada pelebaran garis spektrum yang diamati.

Gambar 3.a Pengamat menangkap panjang gelombang yang berbeda-beda bergantung pada gerak relative antara atom terhadap pengamat

Selanjutnya kita akan menentukan distribusi intensitas spektrum pada berbagai panjang gelombang. Kecepatan atom gas pemancar spectrum memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann karena merupakan partikel klasik. Jumlah atom gas yang memiliki komponen kecepatan antara v_x sampai v_x+dv_x adalah :

Untuk mendapatkan fungsi intensitas maka kita harus mentrasformasi variable kecepatan  v_x  ke dalam variable panjang gelombang  λ dengan menggunakan persamaan Doppler. Apabila transformasi tersebut dilakukan maka n(v_x)dv_x menjadi sebanding dengan I(λ)d λ yang menyatakan intensitas gelombang yang memiliki panjang antara λ sampai λ+dλ. Dengan demikian kita peroleh : 

Dari persaman diatas kita dapatkan:

Substitusi kedua persamaan diatas, maka akan diperoleh :

Yang selanjutnya bisa ditulis dalam bentuk lebih sederhana sebagai :

dengan I(λ₀) adalah intensitas ketika λ = λ₀ . I (λ₀) tidak bergantung pada panjang gelombang tetapi bergantung pada besaran lain seperti suhu gas dan massa atom gas.

  B.   Atom Magnetik Dalam Medan Magnet

Selanjutnya kita akan bahas suatu assembli yang mengandung kumpulan atom yang memiliki momen magnet. Di dalam assembli tersebut kita berikan edan magnetic B. Untuk mempermudah kita assumsikan beberapa sifat berikut ini:

i)                    Tidak ada interaksi antar atom. Interaksi hanya terjadi antara atom dengan medan magnet luar yang diberikan. Ini adalah penyederhanaan yang cukup drastik karena sebenarnya antara momen magnetic ada interaksi.

ii)                  Momen magnetik atom hanya bisa mengambil salah satu dari dua arah orientasi, yaitu searah medan magnet atau berlawanan arah medan magnet. Ilustrasi dari asumsi tersebut tampak pada Gambar 1.b

Gambar 1.b Dalam medan magnet, momen magnetic  hanya dapat mengambil salah satu dari dua arah orientasi: searah atau berlawanan dari medan magnet

Kita akan menentukan berapa momen magnetik total yang dihasilkan oleh kumpulan atom-atom

 tersebut. Kita mulai dengan menghitung energi yang dimiliki asing-masing atom akibat interaksi

momenmagnetik dengan magnet luar. Interaksi antara momen magnetic µ dengan medan  magnet luar B

memberikan tambahan energi pada atom sebesar :

     C.  Dipol Listrik

Fenomena yang mirip dengan atom magnetik dijumpai pula pada assembli momen dipol listrik. Misalkan kita memiliki sejumlah atom atau molekul sejenis yang masing-masing memiliki momen dipol P . Di dalam assembli tersebut kita berikan Medan listrk E . Kita ingin mencari beberapa momen dipol rata-rata yang dimiliki atom/molekul. Untuk kemudahan kita mengansumsikanbeberapa sifat berikut

i) Tidak ada interaksi antra sesama dipol. Interaksi hanya terjadi antra dipol dengan medan listrik luar.

ii) Tiap dipol hanya boleh mengambil salah satu dari dua arah orinetasi, yaitu searah medan listrik dan berlawanan arah dengan arah medan listrik

Energi interaksi antara dipol dengan medan listrik adalah :

dengan  θ adalah sudut antara momen dipol dengan medan listrik. Jika dipol searah medan maka energi interaksinya adalah :

dan jika berlawanan medan maka energi interkasinya adalah :

Dengan demikianlah,pencarian momen dipol total persis sama dengan saat kita mencari momen magnetic total, hanya saja mengganti variable-veriabel yang ekivalen sebagai berikut:

Dengan melakukan penggantian tersebut akhirnya kita dapatkan momen dipol rata-rata atom menjadi :

 

  D.   Persamaan Difusi Einstein

Selanjutnya kita meninjau difusi ion di ini sering dimanfaatkan dalam proses elektroforesis di mana medan listrik digunakan ntuk menggerakkan partikel-partikel bermuatan dalam zat cair.

Mari kita lihat sebuah assembel yang mengandung sejumlah ion. Kita anggap tidak ada interaksi antar ion. Interaksi hanya terjadi antara ion dan medan listrik yang diterapkan. Misalkan muatan semua ion sama, yaitu q. misalkan pula arah medan listrik sumbu sejajar adalah x. Difusi yang akan kita bahas hanya difusi dalam arah sejajar sumbu x. Kita menganggap kuat medan listrik sama pada tiap titik dalam bahan. Gaya yang dialam ion yang berada pada posisi x adalah F = qE sehingga Energi potensial yang dimiliki ion yang berada pada posisi x adalah :

Karena ion merupakan partikel klasik maka distribusi Maxwell-Boltzmann digunakan sehingga konsentrasi ion pada posisi x memenuhi :